3차시 공부: 표본을 얻는 과정의 추상화

Chapter 3. 표본을 얻는 과정의 추상화

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샘플링 과정을 추상화하여 수학적으로 다루기 쉽게 한다. 여기서 추상화를 한다는 것은 복잡한 자료로부터 핵심적인 개념이나 기능만 간추리는 것을 이야기한다.

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확률(probability)은 주로 P라고 나타내며 2cm짜리 물고기가 잡힐 확률은 P(1.5=<몸길이<2.5)라고 나타낸다.

(앞에서 말했던 호수 이야기를 계속 이용하니 기억해두자.)

그리고 이 확률은 1/5=20%이다.

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확률 분포는 확률 변수와 그 값이 나올 수 있는 확률을 대응시켜 나타낸 것으로 짧게 분포라고도 한다.

1~5cm 물고기가 한마리씩 있는 호수에서의 확률분포를 보자면

P(0.5=<몸길이<1.5)=20%

P(1.5=<몸길이<2.5)=20%

P(2.5=<몸길이<3.5)=20%

P(3.5=<몸길이<4.5)=20%

P(4.5=<몸길이<5.5)=20%

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이렇게 나타낼 수 있다.

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그리고 어떤 데이터가 어떤 확률 분포에 대응할 때 확률 분포를 따른다고 이야기한다. 호수의 물고기를 가지고 예를 들자면 낚은 물고기의 몸 길이는 {20%, 20%, .... , 20%}의 확률 분포를 따른다고 이야기할 수 있다.

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모집단이 따르는 확률 분포는 모집단 분포라고 이야기한다. 예를들어 고양이 암수 1000마리씩 있다고 가정해보자. 이때 모집단은 고양이 2000마리이고 이 모집단에서 단순 랜덤 샘플링으로 표본을 1개 획득했다면 P(암컷)=P(수컷)=50%의 확률분포를 따른다. 이는 결국

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고양이 2000마리의 모집단에서 단순 랜덤 샘플링으로 표본 1개를 획득

=P(암컷)=P(수컷)=50%의 확률분포를 따르는 확률 변수 1개 획득

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과 같은 말이 되는 것이다. 예시 없이 이야기하자면 모집단에서 단순 랜덤 샘플링으로 표본을 1개 획득한 것은 모집단 분포에 따르는 확률 변수 1개를 획득한 것과 같은 말이다.

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그렇다면 무한 모집단은 어떻게 해야할까?

예를들어 정육면체 주사위를 던졌을 때의 모집단은 이세상의 모든 주사위를 던진 결과가 모집단일 것이다. 하지만 셀수없이 많은 결과가 나와 상상할 수 없다. 이처럼 무한한 크기를 가진 모집단을 무한 모집단이라고 하며 모집단을 다 알아낼 수는 없지만 모집단의 분포는 추측가능하다. 주사위를 던졌을 때의 모집단 분포는 아래와 같을 것이다.

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{1,2,3,4,5,6}={1/2,1/2,1/2,1/2,1/2,1/2}

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위의 내용들을 토대로 표본을 얻는 과정을 다시한번 알아보자.

호수에서 3cm짜리 물고기를 낚은 것은 모집단에서 샘플링하여 3cm짜리 물고기라는 표본을 얻은 것이고, 모집단 분포를 따르는 확률 변수로 3cm짜리 물고기라는 데이터를 실현값으로 획득한 것이다.

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+5마리의 물고기만 존재하는 호수에서 낚시하는 예를 항아리에 서로 다른 공 5개가 들어있을 때 랜덤으로 1개를 꺼내는 것처럼 볼 수 있다. 이는 항아리에서 공을 꺼내는 행동으로 여러가지 현상을 표현하는 항아리 모델이라고 한다.